Рациональные неравенства — Гипермаркет знаний. Решение целых рациональных неравенств

Продолжаем углубляться в тему «решение неравенств с одной переменной». Нам уже знакомы линейные неравенства и квадратные неравенства . Они являются частными случаями рациональных неравенств , изучением которых мы сейчас и займемся. Начнем с того, что выясним, неравенства какого вида называются рациональными. Дальше разберемся с их подразделением на целые рациональные и дробные рациональные неравенства. А уже после этого будем изучать, как проводится решение рациональных неравенств с одной переменной, запишем соответствующие алгоритмы и рассмотрим решения характерных примеров с детальными пояснениями.

Навигация по странице.

Что такое рациональные неравенства?

В школе на уроках алгебры, как только заходит разговор про решение неравенств, так сразу же и происходит встреча с рациональными неравенствами. Однако сначала их не называют своим именем, так как на этом этапе виды неравенств представляют мало интереса, а основная цель состоит в получении начальных навыков работы с неравенствами. Сам термин «рациональное неравенство» вводится позже в 9 классе, когда начинается детальное изучение неравенств именно этого вида.

Давайте узнаем, что такое рациональные неравенства. Вот определение:

В озвученном определении ничего не сказано о числе переменных, значит, допускается любое их количество. В зависимости от этого различают рациональные неравенства с одной, двумя и т.д. переменными. Кстати, в учебнике дается подобное определение, но для рациональных неравенств с одной переменной. Это и понятно, так как в школе основное внимание уделяется решению неравенств с одной переменной (ниже мы тоже будем говорить лишь о решении рациональных неравенств с одной переменной). Неравенства с двумя переменными рассматривают мало, а неравенствам с тремя и большим числом переменных практически вообще не уделяют внимания.

Итак, рациональное неравенство можно распознать по его записи, для этого достаточно взглянуть на выражения в его левой и правой части и убедиться, что они являются рациональными выражениями. Эти соображения позволяют привести примеры рациональных неравенств. Например, x>4 , x 3 +2·y≤5·(y−1)·(x 2 +1) , - это рациональные неравенства. А неравенство не является рациональным, так как его левая часть содержит переменную под знаком корня, а, значит, не является рациональным выражением. Неравенство тоже не рациональное, так как обе его части не являются рациональными выражениями.

Для удобства дальнейшего описания введем подразделение рациональных неравенств на целые и дробные.

Определение.

Рациональное неравенство будем называть целым , если обе его части – целые рациональные выражения.

Определение.

Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.

Так 0,5·x≤3·(2−5·y) , - целые неравенства, а 1:x+3>0 и - дробно рациональные.

Теперь мы имеем четкое понимание, что представляют собой рациональные неравенства, и можно смело начинать разбираться с принципами решения целых и дробно рациональных неравенств с одной переменной.

Решение целых неравенств

Поставим перед собой задачу: пусть нам надо решить целое рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые целые рациональные выражения. Для ее решения будем использовать равносильные преобразования неравенства .

Перенесем выражение из правой части в левую, что нас приведет к равносильному неравенству вида r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) с нулем справа. Очевидно, что выражение r(x)−s(x) , образовавшееся в левой части, тоже целое, а известно, что можно любое . Преобразовав выражение r(x)−s(x) в тождественно равный ему многочлен h(x) (здесь заметим, что выражения r(x)−s(x) и h(x) имеют одинаковую переменной x ), мы перейдем к равносильному неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥).

В простейших случаях проделанных преобразований будет достаточно, чтобы получить искомое решение, так как они приведут нас от исходного целого рационального неравенства к неравенству, которое мы умеем решать, например, к линейному или квадратному. Рассмотрим примеры.

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства x·(x+3)+2·x≤(x+1) 2 +1 .

Решение.

Сначала переносим выражение из правой части в левую: x·(x+3)+2·x−(x+1) 2 −1≤0 . Выполнив все в левой части, приходим к линейному неравенству 3·x−2≤0 , которое равносильно исходному целому неравенству. Его решение не представляет сложности:
3·x≤2 ,
x≤2/3 .

Ответ:

x≤2/3 .

Пример.

Решите неравенство (x 2 +1) 2 −3·x 2 >(x 2 −x)·(x 2 +x) .

Решение.

Начинаем как обычно с переноса выражения из правой части, а дальше выполняем преобразования в левой части, используя :
(x 2 +1) 2 −3·x 2 −(x 2 −x)·(x 2 +x)>0 ,
x 4 +2·x 2 +1−3·x 2 −x 4 +x 2 >0 ,
1>0 .

Так, выполняя равносильные преобразования, мы пришли к неравенству 1>0 , которое верно при любых значениях переменной x . А это означает, что решением исходного целого неравенства является любое действительное число.

Ответ:

x - любое.

Пример.

Выполните решение неравенства x+6+2·x 3 −2·x·(x 2 +x−5)>0 .

Решение.

В правой части нуль, так что из нее ничего переносить не нужно. Преобразуем целое выражение, находящееся в левой части, в многочлен:
x+6+2·x 3 −2·x 3 −2·x 2 +10·x>0 ,
−2·x 2 +11·x+6>0 .

Получили квадратное неравенство, которое равносильно исходному неравенству. Решаем его любым известным нам методом. Проведем решение квадратного неравенства графическим способом .

Находим корни квадратного трехчлена −2·x 2 +11·x+6 :

Делаем схематический чертеж, на котором отмечаем найденные нули, и учитываем, что ветви параболы направлены вниз, так как старший коэффициент отрицательный:

Так как мы решаем неравенство со знаком >, то нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это имеет место на интервале (−0,5, 6) , он и является искомым решением.

Ответ:

(−0,5, 6) .

В более сложных случаях в левой части полученного неравенства h(x)<0 (≤, >, ≥) будет многочлен третьей или более высокой степени. Для решения таких неравенств подходит метод интервалов , на первом шаге которого нужно будет найти все корни многочлена h(x) , что частенько делается через .

Пример.

Найдите решение целого рационального неравенства (x 2 +2)·(x+4)<14−9·x .

Решение.

Перенесем все в левую часть, после чего там и :
(x 2 +2)·(x+4)−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +2·x+8−14+9·x<0 ,
x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 .

Проделанные манипуляции приводят нас к неравенству, которое равносильно исходному. В его левой части многочлен третьей степени. Решить его можно методом интервалов. Для этого в первую очередь надо найти корни многочлена, что упирается в x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 . Выясним, имеет ли оно рациональные корни, которые могут быть лишь среди делителей свободного члена, то есть, среди чисел ±1 , ±2 , ±3 , ±6 . Подставляя по очереди эти числа вместо переменной x в уравнение x 3 +4·x 2 +11·x−6=0 , выясняем, что корнями уравнения являются числа 1 , 2 и 3 . Это позволяет представить многочлен x 3 +4·x 2 +11·x−6 в виде произведения (x−1)·(x−2)·(x−3) , а неравенство x 3 +4·x 2 +11·x−6<0 переписать как (x−1)·(x−2)·(x−3)<0 . Такой вид неравенства в дальнейшем позволит с меньшими усилиями определить знаки на промежутках.

А дальше остается выполнить стандартные шаги метода интервалов: отметить на числовой прямой точки с координатами 1 , 2 и 3 , которые разбивают эту прямую на четыре промежутка, определить и расставить знаки, изобразить штриховку над промежутками со знаком минус (так как мы решаем неравенство со знаком <) и записать ответ.

Откуда имеем (−∞, 1)∪(2, 3) .

Ответ:

(−∞, 1)∪(2, 3) .

Следует отметить, что иногда нецелесообразно от неравенства r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥) переходить к неравенству h(x)<0 (≤, >, ≥), где h(x) – многочлен степени выше второй. Это касается тех случаев, когда сложнее разложить многочлен h(x) на множители, чем представить выражение r(x)−s(x) в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов, например, путем вынесения за скобки общего множителя. Поясним это на примере.

Пример.

Решите неравенство (x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)≥2·x·(x 2 −2·x−1) .

Решение.

Это целое неравенство. Если перенести выражение из его правой части в левую, после чего раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то получится неравенство x 4 −4·x 3 −16·x 2 +40·x+19≥0 . Решить его очень непросто, так как это предполагает поиск корней многочлена четвертой степени. Несложно проверить, что рациональных корней он не имеет (ими могли бы быть числа 1 , −1 , 19 или −19 ), а другие его корни искать проблематично. Поэтому этот путь тупиковый.

Давайте поищем другие возможности решения. Несложно заметить, что после переноса выражения из правой части исходного целого неравенства в левую, можно вынести за скобки общий множитель x 2 −2·x−1 :
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −19)−2·x·(x 2 −2·x−1)≥0 ,
(x 2 −2·x−1)·(x 2 −2·x−19)≥0 .

Проделанное преобразование является равносильным, поэтому решение полученного неравенства будет решением и исходного неравенства.

А теперь мы можем найти нули выражения, находящегося в левой части полученного неравенства, для этого надо x 2 −2·x−1=0 и x 2 −2·x−19=0 . Их корнями являются числа . Это позволяет перейти к равносильному неравенству , а его мы можем решить методом интервалов:

По чертежу записываем ответ .

Ответ:

В заключение этого пункта хочется лишь добавить, что далеко не всегда есть возможность найти все корни многочлена h(x) , и как следствие разложить его в произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов. В этих случаях нет возможности решить неравенство h(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, нет возможности найти решение исходного целого рационального уравнения.

Решение дробно рациональных неравенств

Теперь займемся решением такой задачи: пусть требуется решить дробно рациональное неравенство с одной переменной x вида r(x), ≥), где r(x) и s(x) – некоторые рациональные выражения, причем хотя бы одно из них – дробное. Давайте сразу приведем алгоритм ее решения, после чего внесем необходимые пояснения.

Алгоритм решения дробно рационального неравенства с одной переменной r(x), ≥):

• Сначала надо найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной x для исходного неравенства.
• Дальше нужно перенести выражение из правой части неравенства в левую, и образовавшееся там выражение r(x)−s(x) преобразовать к виду дроби p(x)/q(x) , где p(x) и q(x) – целые выражения, представляющие собой произведения линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов и их степеней с натуральным показателем.
• Дальше надо решить полученное неравенство методом интервалов.
• Наконец, из полученного на предыдущем шаге решения нужно исключить точки, не входящие в ОДЗ переменной x для исходного неравенства, которая была найдена на первом шаге.

Так будет получено искомое решение дробно рационального неравенства.

Пояснений требует второй шаг алгоритма. Перенос выражения из правой части неравенства в левую дает неравенство r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), которое равносильно исходному. Здесь все понятно. А вот вопросы вызывает дальнейшее его преобразование к виду p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥).

Первый вопрос: «Всегда ли его возможно провести»? Теоретически, да. Мы знаем, что можно любое . В числителе и знаменателе рациональной дроби находятся многочлены. А из основной теоремы алгебры и теоремы Безу следует, что любой многочлен степени n с одной переменной можно представить в виде произведения линейных двучленов. Это и объясняет возможность проведения указанного преобразования.

На практике же довольно сложно раскладывать многочлены на множители, а если их степень выше четвертой, то и не всегда возможно. Если разложение на множители невозможно, то не будет и возможности найти решение исходного неравенства, но в школе такие случаи обычно не встречаются.

Второй вопрос: «Будет ли неравенство p(x)/q(x)<0 (≤, >, ≥) равносильно неравенству r(x)−s(x)<0 (≤, >, ≥), а значит, и исходному»? Оно может быть как равносильно, так и неравносильно. Оно равносильно тогда, когда ОДЗ для выражения p(x)/q(x) совпадает с ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . В этом случае последний шаг алгоритма будет излишним. Но ОДЗ для выражения p(x)/q(x) может оказаться шире, чем ОДЗ для выражения r(x)−s(x) . Расширение ОДЗ может происходить при сокращении дробей, как, например, при переходе от к . Также расширению ОДЗ может способствовать приведение подобных слагаемых, как, например, при переходе от к . Для этого случая и предназначен последний шаг алгоритма, на котором исключаются посторонние решения, возникающие из-за расширения ОДЗ. Давайте последим за этим, когда будем разбирать ниже решения примеров.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Системы рациональных неравенств

Текст урока

• конспект [Безденежных Л.В.]

  Алгебра, 9 класс УМК: А.Г.Мордкович. Алгебра. 9 класс. В 2ч. Ч.1.Учебник; Ч.2.Задачник; М.: Мнемозина, 2010 Уровень обучения: базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств. (Первый урок по теме, всего на изучение темы отводится 3 часа) Урок изучения новой темы. Цель урока: повторить решение линейных неравенств; ввести понятия системы неравенств, объяснить решение простейших систем линейных неравенств; формировать умение решать системы линейных неравенств любой сложности. Задачи: Образовательные: изучение темы на основе имеющихся знаний, закрепление практических умений и навыков решений систем линейных неравенств в результате самостоятельной работы учащихся и лекционно-консультативной деятельности наиболее подготовленных из них. Развивающие: развитие познавательного интереса, самостоятельности мышления, памяти, инициативы учащихся через использование коммуникативно - деятельностной методики и элементов проблемного обучения. Воспитательные: формирование коммуникативных умений, культуры общения, сотрудничества. Методы проведения: - лекция с элементами беседы и проблемного обучения; -самостоятельная работа учащихся с теоретическим и практическим материалом по учебнику; -выработка культуры оформления решения систем линейных неравенств. Планируемые результаты: учащиеся вспомнят как решать линейные неравенства, отмечать пересечение решений неравенств на числовой прямой, научатся решать системы линейных неравенств. Оборудование урока: классная доска, раздаточный материал (приложение), учебники, рабочие тетради. Содержание урока: 1. Организационный момент. Проверка домашнего задания. 2. Актуализация знаний. Учащиеся вместе с учителем заполняют таблицу на доске: Неравенство Рисунок Промежуток Ниже приводится готовая таблица: Неравенство Рисунок Промежуток 3. Математический диктант. Подготовка к восприятию новой темы. 1.По образцу таблицы решить неравенства: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 4. Объяснение нового материала. Объяснение нового материала (стр.40-44): 1. Дать определение системы неравенств (стр. 41). Опр-е: Несколько неравенств с одной переменной х образуют систему неравенств, если ставиться задача найти все такие значения переменной, при которых каждое из заданных неравенств с переменной обращается в верное числовое неравенство. 2. Ввести понятие частное и общее решение системы неравенств. Любое такое значение х называют решением (или частным решением) системы неравенств. Множество всех частных решений системы неравенств представляет собой общее решение системы неравенств. 3. Рассмотреть в учебнике решение систем неравенств по примеру №3(а, б, в). 4. Обобщить рассуждения, решив систему:. 5. Закрепление нового материала. Решить задания из № 4.20 (а,б), 4.21 (а,б) . 6. Проверочная работа Проверить усвоение нового материала, активно помогая в решении заданий по вариантам: Вариант 1 а, в №4.6, 4.8 Вариант 2 б, г № 4.6, 4.8 7. Подведение итогов. Рефлексия С какими новыми понятиями вы сегодня познакомились? Научились ли вы находить решения системы линейных неравенств? Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 8. Домашнее задание: № 4.5, 4.7.; теория в учебнике стр. 40-44; Для учащихся с повышенной мотивацией № 4.23 (в,г). Приложение. Вариант 1. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 2. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 3. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос. Вариант 4. Неравенство Рисунок Промежуток 2.Решить неравенства, нарисовать два рисунка на одной оси и проверить, является число 5 решением двух неравенств: Неравенства Рисунок Ответ на вопрос.

  Скачать: Алгебра 9кл - конспект [Безденежных Л.В.].docx

• конспект уроков 2-4 [Зверева Л.П.]

   Алгебра 9класс УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов, 2014год. Уровень -- обучения-базовый Тема урока: Системы рациональных неравенств Общее количество часов, отведенное на изучение темы-4часа Место урока в системе уроков по теме урок №2 ;№3; №4. Цель урока: Научить учащихся составлять системы неравенств, а также научить решать уже готовые системы, предложенные автором учебного пособия. Задачи урока: Формировать умения: свободно решать системы неравенств аналитически, а также уметь переносить решение на координатную прямую с целью правильной записи ответа, самостоятельно работать с заданным материалом. .Планируемые результаты: Учащиеся должны уметь решать уже готовые системы, а также составлять системы неравенств по текстовому условию заданий и решать составленную модель. Техническое обеспечение урока:УМК: АЛГЕБРА-9КЛАСС, А.Г. МОРДКОВИЧ.П.В. Семёнов. Рабочая тетрадь, проектор для проведения устного счёта, распечатки дополнительных заданий для сильных учащихся. Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на Интернет-ресурсы): 1.Пособие Н.Н.Хлевнюк, М.В. Иванова, В.Г. Иващенко, Н.С. Мелкова «Формирование вычислительных навыков на уроках математики 5-9 классы» 2.Г.Г.Левитас «Математические диктанты» 7-11 класс.3. Т.Г. Гулина «Математический тренажёр» 5-11 (4 уровня сложности) Учитель математики: Зверева Л.П. У р о к № 2 Цели: Отработка навыков решения системы рациональных неравенств с использованием для наглядности результата решения геометрической интерпретации. Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 11 Проверка домашней работы 1. Теоретическая часть: * Что собой представляет аналитическая запись рационального неравенства * Что собой представляет аналитическая запись системы рациональных неравенств *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств. 2. Практическая часть: *Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. В ходе выполнения домашнего задания II1 Выполнение упражнений. 1.Повторить способы разложения многочлена на множители. 2. Повторить, в чем заключается метод интервалов при решении неравенств. 3. Решить систему. Решение ведёт ученик сильный у доски под контролем учителя. 1) Решим неравенство 3х – 10 > 5х – 5; 3х – 5х> – 5 + 10; – 2х> 5; х< – 2,5. 2) Решим неравенство х2 + 5х + 6 < 0; Найдём корни данного трёхчлена х2 + 5х + 6 = 0; D = 1; х1=-3 х2 = – 2; тогда квадратный трёхчлен разложим по корням (х + 3)(х + 2) < 0. Имеем – 3 <х< – 2. 3) Найдем решение системы неравенств, для этого вынесим оба решения на одну числовую прямую. Вывод: решения совпали на промежутке от-3 до - 2,5(произошло перекрытие штриховок) О т в е т: – 3 <х< – 2,5. 4. Решить № 4.9 (б) самостоятельно споследующей проверкой. О т в е т: нет решений. 5.Повторяем теорему о квадратном трехчлене с отрицательным и положительным дискриминантом. Решаем №4.10(г) 1) Решим неравенство – 2х2 + 3х – 2 < 0; Найдём корни – 2х2 + 3х – 2 = 0; D = 9 – 16 = = – 7 < 0. По теореме неравенство верно при любых значениях х. 2) Решим неравенство –3(6х – 1) – 2х<х; – 18х + 3 – 2х<х; – 20х – х<< – 3; – 21х<– 3; 3) х> Решение данной системы неравенств х> О т в е т: х> 6. Решить № 4.10 (в) на доске и в тетрадях. Решим неравенство 5х2 – 2х + 1 ≤ 0. 5х2–2х + 1 = 0; D = 4 – 20 = –16 < 0. По теореме неравенство не имеет решений, а это значит, что данная система не имеет решений. О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.11 (в) самостоятельно. Один учащийся решает на доске, другие в тетрадях, потом проверяется решение. в) 1) Решим неравенство 2х2 + 5х + 10 > 0. 2х2 + 5х + 10 = 0; D = –55 < 0. По теореме неравенство верно при всех значениях х.-любое число 2) Решим неравенство х2 ≥ 16; х2 – 16 ≥ 0; (х – 4)(х + 4) ≥ 0; х = 4; х = – 4. Решение х ≤ –4 их ≥ 4. Объединяем решения двух неравенств в систему 3) Решение системы неравенств являются два неравенства О т в е т: х ≤ – 4; х ≥ 4. 8. Решить № 4.32 (б) на доске и в тетрадях. Решение Наименьшее целое число равно –2; наибольшее целое число равно 6. О т в е т: –2; 6. 9. Повторение ранее изученного материала. 1) Решить № 4.1 (а; -г) 4.2(а-г) на с. 25 устно. 2) Решить графически уравнение Строим графики функций y = –1 – x. О т в е т: –2. III. Итоги урока. 1. В курсе алгебры 9 класса мы будем рассматривать только системы из двух неравенств. 2. Если в системе из нескольких неравенств с одной переменной одно неравенство не имеет решений, то и система не имеет решений. 3. Если в системе из двух неравенств с одной переменной одно неравенство выполняется при любых значениях переменной, то решением системы служит решение второго неравенства системы. Домашнее задание: рассмотреть по учебнику решение примеров 4 и 5 на с. 44–47 и записать решение в тетрадь; решить № 4.9 (а; в), № 4.10 (а; б), № 4.11 (а; б), № 4.13 (а;б). . У р о к 3 Цели: Научить учащихся при решении двойных неравенств и нахождении области определения выражений, составлять системы неравенств и решать их, а также научить решать системы содержащих модули; Ход урока 1.Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока 1I. Проверка домашнего задания. 1. Проверить выборочно у нескольких учащихся выполнение ими домашнего задания. 2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся. 3. Устно решить № 4.2 (б) и № 4.1 (г). 4.Устная вычислительная работа: Вычисли рациональным способом: а)53,76*(-7.9) -53,76 *2,1 б) -0,125*32.6*(-8) в) Выразим указанную переменную из заданной формулы: 2a= ,y=? II. Объяснение нового материала. 1. Двойное неравенство можно решить двумя способами: а) сведением к системе двух неравенств; б) без системы неравенств с помощью преобразований. 2. Решить двойное неравенство № 4.15 (в) двумя способами. а) сведением к системе двух неравенств; I с п о с о б Решение – 2 <х< – 1. О т в е т: (– 2; – 1). б) без системы неравенств с помощью преобразований II с п о с о б 6 < – 6х< 12 | : (– 6) – 1 >х> – 2, тогда – 2 < х < – 1. О т в е т: (– 2; – 1). 3. Решить № 4.16 (б; в). I с п о с о б сведением к системе двух неравенств; б) – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2. Решим систему неравенств: О т в е т: II с п о с о б без системы неравенств с помощью преобразований – 2 ≤ 1 – 2х ≤ 2; прибавим к каждой части неравенства число (– 1), получим – 3 ≤ – 2х ≤ 1; разделим на (– 2), тогда в) – 3 << 1. Умножим каждую часть неравенства на 2, получим – 6 < 5х + 2 < 2. Решим систему неравенств: О т в е т: – 1,6 <х< 0. III. Выполнение упражнений. 1. Решить № 4.18 (б) и № 4.19 (б) на доске и в тетрадях. 2. Решить № 4.14 (в) методом интервалов. в) 1) х2 – 9х + 14 < 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 7)(х – 2) < 0; х = 7; х = 2 Решение 2<х< 7. 2) х2 – 7х – 8 ≤ 0; Найдём корни квадратного трёхчлена и разложим квадратный трёхчлен по корням (х – 8)(х + 1) ≤ 0; х = 8; х = – 1 Решение – 1 ≤ х ≤ 8. Соединим решения каждого неравенства на одной прямой т.е. создадим геометрическую модель. та часть прямой где произошло пересечение решений есть конечный результат О т в е т: 2 <х< 7. 4) Решить № 4.28 (в) самостоятельно с проверкой. в) Решим систему неравенств составленную из подкоренных выражений. 1) (х – 2)(х – 3) ≥ 0; х = 2; х = 3 Решение х ≤ 2 и х ≥ 3. 2) (5 – х)(6 – х) ≥ 0; – 1(х – 5) · (– 1)(х – 6) ≥ 0; (х – 5)(х – 6) ≥ 0 х = 5; х = 6 Решение х ≤ 5 и х ≥ 6. 3) О т в е т: х ≤ 2, 3 ≤ х ≤ 5, х ≥ 6. 5. Решение систем неравенств, содержащих переменную под знаком модуля. Решить № 4.34 (в; г). Учитель объясняет решение в) 1) | х + 5 | < 3 находим точку где модуль обращается в 0 х = -5 Решение – 8 <х< – 2. 2) | х – 1 | ≥ 4 находим точку где модуль обращается в 0 х = 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ 5. Соединили решения каждого неравенства в единую модель 3) О т в е т: – 8 <х ≤ 3. г) 1) | х – 3 | < 5; Решение – 2 <х< 8. 2) | х + 2 | ≥ 1 Решение х ≤ – 3 и х ≥ – 1. 3) О т в е т: –1 ≤ х< 8. 6. Решить № 4.31 (б). Учащиеся решают самостоятельно. Один ученик решает на доске, остальные в тетрадях, затем проверяется решение. б) Решение Середина промежутка О т в е т: 7. Решить № 4.38 (а; б). Учитель на доске с помощью числовой прямой показывает решение данного упражнения, привлекая к рассуждениям учащихся. О т в е т: а) р< 3; р ≥ 3; б) р ≤ 7; р> 7. 8. Повторение ранее изученного материала. Решить № 2.33. Пусть первоначальная скорость велосипедиста х км/ч, после уменьшения стала (х – 3) км/ч. 15x – 45 + 6x = 1,5x(x – 3); 21x – 45 = 1,5x2 – 4,5x; 1,5x2 – 25,5x + 45 = 0 | : 1,5; тогда х2 – 17х + 30 = 0; D = 169; х1 = 15; х2 = 2 не удовлетворяет смыслу задачи. О т в е т: 15 км/ч; 12 км/ч. IV.Вывод по уроку: Науроке учились решать системы неравенств усложнённого вида особенно с модулем, попробовали свои силы в самостоятельной работе. Выставление отметок. Домашнее задание: выполнить на отдельных листочках домашнюю контрольную работу №1 с № 7 по № 10 на с. 32–33 , № 4.34 (а; б), № 4.35 (а; б). У р о к 4 Подготовка к контрольной работе Цели: обобщить и систематизировать изученный материал, подготовить учащихся к контрольной работе по теме «Системы рациональных неравенств» Ход урока 1. Организационный момент: Настрой класса на работу, сообщение темы и цели урока. 11.Повторение изученного материала. *Что значит решить систему неравенств *Чем является результат решения системы рациональных неравенств 1. Собрать листочки с выполненной домашней контрольной работой. 2. Какие правила применяют при решении неравенств? Объясните решение неравенств: а) 3х – 8 <х + 2; б) 7(х – 1) ≥ 9х + 3. 3. Сформулируйте теорему для квадратного трехчлена с отрицательным дискриминантом. Устно решите неравенства: а) х2 + 2х + 11 > 0; б) – 2х2 + х – 5 > 0; в) 3х2 – х + 4 ≤ 0. 4. Сформулируйте определение системы неравенств с двумя переменными. Что значит решить систему неравенств? 5. В чем заключается метод интервалов, активно используемый при решении рациональных неравенств? Объясните это на примере решения неравенства: (2x – 4)(3 – x) ≥ 0; I11. Тренировочные упражнения. 1. Решить неравенство: а) 12(1 – х) ≥ 5х – (8х + 2); б) – 3х2 + 17х + 6 < 0; в) 2. Найдите область определения выражения. а) f(х) = 12 + 4х – х2 ≥ 0; – х2 + 4х + 12 ≥ 0 | · (– 1); х2 – 4х – 12 ≤ 0; D = 64; х1 = 6; х2 = – 2; (х – 6)(х + 2) ≤ 0 О т в е т: – 2 ≤ х ≤ 6 или [– 2; 6]. б) f(х)= х2 + 2х + 14 ≥ 0; D< 0. По теореме о квадратном трехчлене с отрицательным дискриминантом имеемх – любое число. О т в е т: множество решений или (– ∞; ∞). 2. Решите двойное неравенство и укажите, если возможно, наибольшее и наименьшее целое решение неравенства Р е ш е н и е Умножим каждую часть неравенства на 5, получим 0 – 5 < 3 – 8х ≤ 15; – 8 < – 8х ≤ 12; – 1,5 ≤ х< 1. Наибольшее целое число 0, наименьшее целое число (– 1). О т в е т: 0; – 1. 4. Решить № 76 (б) на доске и в тетрадях. б) Р е ш е н и е Для нахождения области определения выражения решим систему неравенств 1) х = х = 5. Решение ≤х< 5. 2) Решение х< 3,5 и х ≥ 4. 3) О т в е т: ≤х< 3,5 и 4 ≤ х< 5. 5. Найти область определения выражения. а) f(х) = б) f(х) = а) О т в е т: – 8 <х ≤ – 5; х ≥ – 3. б) О т в е т: х ≤ – 3; – 2 <х ≤ 4. 6. Решить систему неравенств (самостоятельно). Р е ш е н и е Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим: О т в е т: нет решений. 7. Решить № 4.40*. Решение объясняет учитель. Если р = 2, то неравенство примет вид 2х + 4 > 0, х> – 2. Это не соответствует ни заданию а), ни заданию б). Значит, можно считать, что р ≠ 2, то есть заданное неравенство является квадратным. а) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 не имеет решений, если а< 0, D< 0. Имеем D = (р – 4)2 – 4(р – 2)(3р – 2) = – 11р2 + 24р. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р< 0. б) Квадратное неравенство вида ах2 + bх + с> 0 выполняется при любых значениях х, если а> 0 и D< 0. Значит, задача сводится к решению системы неравенств Решив эту систему, получим р> IV. Итоги урока. Необходимо дома просмотреть весь изученный материал и подготовиться к контрольной работе. Домашнее задание: № 1.21 (б; г), № 2.15 (в; г); № 4.14 (г), № 4.28 (г); № 4.19 (а), № 4.33 (г).

  Тема урока "Решение систем рациональных неравенств"

  Класс 10

  Тип урока: поисковый

  Цель: поиск способов решения неравенств с модулем, применение метода интервалов в новой ситуации.

  Задачи урока:

  Проверить умения и навыки в решении рациональных неравенств и их систем; - показать учащимся возможности применения метода интервалов при решении неравенств с модулем;

  Научить логически мыслить;

  Выработать навык самооценки своей работы;

  Научить выражать свои мысли,

  Научить аргументированно отстаивать свою точку зрения;

  Сформировать у учащихся положительный мотив учения;

  Развить самостоятельность учащихся.

  Ход урока

  I. Организационный момент (1мин)

  Здравствуйте, сегодня мы с вами продолжим изучение темы "Система рациональных неравенств", будем применять свои знания и умения в новой ситуации.

  Запишите число и тему урока "Решение систем рациональных неравенств". Сегодня я вас приглашаю в путешествие по дорогам математики, где вас ожидают испытания, проверка на прочность. У вас на партах лежат дорожные карты с заданиями, путевой лист самооценки, который в конце путешествия сдадите мне (диспетчеру).

  Девизом путешествия будет служить афоризм "Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий» . Возьмите с собой ваш багаж знаний. Включите мыслительный процесс и в путь. В дороге нас будет сопровождать дорожное радио. Звучит фрагмент музыки (1 мин). Потом резкий звук сигнала.

  II. Этап проверки знаний. Работа в группах. «Досмотр багажа»,

  Вот и первое испытание «Досмотр багажа», проверка ваших знаний по теме

  Сейчас вы разделитесь на группы по 3 или 4 человека. У каждого на парте есть листок с заданием. Распределите эти задания между собой, решите их, на общем листе запишите готовые ответы. Группа, состоящая из 3 человек, выбирает 3 любые задания. Кто выполнит все задания, сообщит об этом учителю. Я или мои помощники сверим ответы, и если хоть один ответ будет неверным, группе возвращается листок на перепроверку . (ответы дети не видят, им только сообщается, в каком задании неверный ответ). Победит та группа, которая первой без ошибок справиться со всеми заданиями. Вперёд за победой.

  Звучит очень тихая музыка.

  Если закончат работу две или три группы одновременно, то учителю поможет проверить кто-то из ребят другой группы. Ответы на листе у учителя (4 экземпляра).

  Работа останавливается, когда появится группа-победитель.

  Не забудьте заполнить путевой лист самооценки. И едем дальше.

  Лист с заданием для «Досмотра багажа»

  1) 3)

  2) 4)

  III. Этап актуализации знаний и открытие новых знаний. «Эврика»

  Досмотр показал, что багаж знаний у вас есть.

  Но в дороге всякие ситуации бывают, иногда требуется смекалка, а не забыли ли вы прихватить её с собой, проверим.

  Вы научились решать системы рациональных неравенств методом интервалов. Сегодня мы посмотрим, при решении каких задач целесообразно применение этого метода. Но сначала вспомним, что такое модуль.

  1. Продолжите предложения «Модуль числа равен самому числу, если..." (устно)

  «Модуль числа равен противоположному числу, если...»

  2. Пусть А(Х) -многочлен от x

  Продолжите запись:

  Ответ:

  Запишите выражение, противоположное выражению А(х)

  А(х) = 5 - 4х; А(х) = 6х 2 - 4х + 2

  А(х)= -А(х)=

  На доске пишет ученик, ребята, записывают в тетради.

  3. Сейчас попробуем найти способ решения квадратичного неравенства с модулем

  Ваши предложения по решению этого неравенства.

  Выслушать предложения ребят.

  Если предложений не будет, то задать вопрос: «Можно ли решить это неравенство с помощью систем неравенств?»

  Выходит ученик, решает.

  IV. Этап первичного закрепления новых знаний, составление алгоритма решения. Пополнение багажа.

  (Работа в группах по 4 человека).

  Сейчас я вам предлагаю пополнить ваш багаж. Будете работать в группах. Каждой группе выдаются по 2 карточки с заданиями.

  На первой карточке нужно записать системы для решения неравенств, представленных на доске и разработать алгоритм решения подобных неравенств, решать не нужно.

  Первая карточка у групп разная, вторая одинаковая

  Что получилось?

  Под каждым уравнением на доске нужно написать совокупность систем.

  Выходят 4 ученика, и пишут системы. В это время с классом обсуждаем алгоритм .

  V. Этап закрепления знаний. «Дорога домой».

  Багаж пополнен, теперь пора в обратный путь. Сейчас решите самостоятельно любое из предложенных неравенств с модулем в соответствии с составленным алгоритмом.

  С вами в пути опять будет дорожное радио.

  Включить тихую фоновую музыку . Учитель проверяет оформление и при необходимости консультирует.

  Задания на доске.

  Работу закончили. Сверьте ответы (они на обратной стороне доски), заполните путевой лист самооценки.

  Постановка домашнего задания .

  Запишите домашнее задание (перепишите в тетрадь неравенства, которые не сделали или сделали с ошибками, дополнительно № 84 (а) на стр. 373 учебника по желанию)

  VI. Этап релаксации .

  Чем полезно было для вас это путешествие?

  Чему вы научились?

  Подведите итоги. Подсчитайте, сколько баллов каждый из вас заработал. (ребята называют итоговый балл). Листы с самооценкой сдайте диспетчеру, то есть мне.

  Закончить урок я хочу притчей.

  «Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?», и тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу», а третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве Храма!»»

  Урок окончен.

  Лист самооценки

  Фамилия, имя, класс		Количество баллов
  Работа в группе по решению неравенств или систем неравенств.	2 балла, если выполнил верно без посторонней помощи; 1 балл, если выполнил верно с посторонней помощью; 0 баллов, если не выполнил задание 1 балл дополнительный за победу группы

  Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

  Yandex.RTB R-A-339285-1

  Понятие рациональных равенств

  Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

  Определение 1

  Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

  Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

  Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

  x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

  А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

  Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

  Определение 2

  Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

  Определение 3

  Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

  Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.

  Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

  Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

  Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

  вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)

  Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.

  Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

  Пример 1

  Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .

  Решение

  Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

  x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

  Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

  3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

  Ответ: x ≤ 2 3 .

  Пример 2

  Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .

  Решение

  Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

  (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

  В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

  Ответ: любое действительно число.

  Пример 3

  Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .

  Решение

  Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

  x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

  Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

  Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

  D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

  Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

  Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

  Ответ: (− 0 , 5 , 6) .

  Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

  Пример 4

  Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .

  Решение

  Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

  (x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

  В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

  Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

  Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

  Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .

  

  Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

  Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

  В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

  Пример 5

  Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .

  Решение

  Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

  Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

  Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

  (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

  Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

  

  Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

  Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

  Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

  Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

  1. Определяем область допустимых значений переменной x .
  2. Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
  3. Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
  4. Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

  Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?

  Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

  На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

  Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

  Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

  Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

  x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

  Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

  Пример 6

  Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

  Решение

  Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

  x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

  После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :

  x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

  Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

  x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

  Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

  Используем метод интервалов:

  

  Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .

  Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

  Пример 7

  Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

  Решение

  Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

  Переносим выражения из правой части в левую:

  x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

  x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

  Учитывая получившийся результат, запишем:

  x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

  Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

  Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

  Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

  Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

  В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

  Пример 8

  Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

  Решение

  Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

  Решений у этой системы нет, поскольку

  x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

  Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

  Ответ: решений нет.

  Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter