Найдите наименьшее значение производной функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значения функции

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из Открытого банка заданий для .

Как обычно, сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции , нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1 . Решим задание В15 (№ 245184)

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения функции

б) Найдем производную функции .

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

2 . Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:

Ответ: 5

3 . Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при . Проверим, принадлежит ли ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие title="4-2x-x^2>0"> при .

Title="4-2(-1)-{(-1)}^2>0">,

значит, точка принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки :

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке . Теперь найдем значение функции при :

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

• если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
• если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

В нашем примере внешняя функция - возрастает на всей области определения. Под знаком логарифма стоит выражение - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке . Далее подставляем это значение х в уравнение функции и находим ее наибольшее значение.

Процесс поиска наименьшего и наибольшего значения функции на отрезке напоминает увлекательный облёт объекта (графика функции) на вертолёте с обстрелом из дальнобойной пушки определённых точек и выбором из этих точек совсем особенных точек для контрольных выстрелов. Точки выбираются определённым образом и по определённым правилам. По каким правилам? Об этом мы далее и поговорим.

Если функция y = f (x ) непрерывна на отрезке [a , b ] , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений . Это может произойти либо в точках экстремума , либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции , непрерывной на отрезке [a , b ] , нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f (x ) на отрезке [a , b ] . Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a , b ] .

Критической точкой называется точка, в которой функция определена , а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f (a ) и f (b ) ). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a , b ] .

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции .

Ищем наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2] .

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2] . Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции (на графике ниже обозначено красным), равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее (тоже красное на графике), равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3] .

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3] . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: , равного -5/13, в точке и наибольшего значения , равного 1, в точке .

Продолжаем искать наименьшее и наибольшее значения функции вместе

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

Пример 6. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции как производную произведения :

Приравниваем производную нулю, что даёт одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Результат всех действий: функция достигает наименьшего значения , равного 0, в точке и в точке и наибольшего значения , равного e ² , в точке .

Пример 7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим производную данной функции:

Приравниваем производную нулю:

Единственная критическая точку принадлежит отрезку . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Вывод: функция достигает наименьшего значения , равного , в точке и наибольшего значения , равного , в точке .

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S :

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[ , причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением . Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A , находящегося на линии железной дороги, в пункт С , отстоящий от неё на расстоянии l , должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Дана функция , определенная и непрерывная на некотором промежутке . Требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции на этом промежутке.

Теоретические основы.
Теорема (Вторая теорема Вейерштрасса):

Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке , то она достигает в этом промежутке своих наибольшего и наименьшего значений.

Функция может достигать своих наибольших и наименьших значений либо на внутренних точках промежутка, либо на его границах. Проиллюстрируем все возможные варианты.

Пояснение:
1) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
2) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума) , а своего наименьшего значения на правой границе промежутка в точке .
3) Функция достигает своего наибольшего значения на левой границе промежутка в точке , а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
4) Функция постоянна на промежутке, т.е. она достигает своего минимального и максимального значения в любой точке промежутка, причем минимальное и максимальное значения равны между собой.
5) Функция достигает своего наибольшего значения в точке , а своего наименьшего значения точке (несмотря на то, что функция имеет на этом промежутке как максимум, так и минимум).
6) Функция достигает своего наибольшего значения в точке (это точка максимума), а своего наименьшего значения в точке (это точка минимума).
Замечание:

«Максимум» и «максимальное значение» — разные вещи. Это следует из определения максимума и интуитивного понимания словосочетания «максимальное значение».

Алгоритм решения задачи 2.



4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Пример 4:

Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .
Решение:
1) Найти производную функции .

2) Найти стационарные точки (и точки, подозрительные на экстремум), решив уравнение . Обратить внимание на точки, в которых не существует двусторонней конечной производной.

3) Вычислить значения функции в стационарных точках и на границах интервала.

4) Выбрать из полученных значений наибольшее (наименьшее) и записать ответ.

Функция на этом отрезке достигает своего наибольшего значения в точке с координатами .

Функция на этом отрезке достигает своего наименьшего значения в точке с координатами .

В правильность вычислений можно убедиться, взглянув на график исследуемой функции.


Замечание: Наибольшего значения функция достигает в точке максимума, а наименьшего – на границе отрезка.

Частный случай.

Предположим, требуется найти максимально и минимальное значение некоторой функции на отрезке. После выполнение первого пункта алгоритма, т.е. вычисления производной, становится ясно, что, например, она принимает только отрицательные значения на всем рассматриваемом отрезке. Помним, что если производная отрицательна, то функция убывает. Получили, что на всем отрезке функция убывает. Эта ситуация отображена на графике № 1 в начале статьи.

На отрезке функция убывает, т.е. точек экстремумов у нее нет. Из картинки видно, что наименьшее значение функция примет на правой границе отрезка, а наибольшее значение — на левой. если же производная на отрезке всюду положительна, то функция возрастает. Наименьшее значение — на левой границе отрезка, наибольшее — на правой.

Иногда в задачах B15 попадаются «плохие» функции, для которых сложно найти производную. Раньше такое было лишь на пробниках, но сейчас эти задачи настолько распространены, что уже не могут быть игнорированы при подготовке к настоящему ЕГЭ.

В этом случае работают другие приемы, один из которых - монотонность .

Функция f (x ) называется монотонно возрастающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ).

Функция f (x ) называется монотонно убывающей на отрезке , если для любых точек x 1 и x 2 этого отрезка выполняется следующее:

x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 ).

Другими словами, для возрастающей функции чем больше x , тем больше f (x ). Для убывающей функции все наоборот: чем больше x , тем меньше f (x ).

Например, логарифм монотонно возрастает, если основание a > 1, и монотонно убывает, если 0 < a < 1. Не забывайте про область допустимых значений логарифма: x > 0.

f (x ) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)

Арифметический квадратный (и не только квадратный) корень монотонно возрастает на всей области определения:

Показательная функция ведет себя аналогично логарифму: растет при a > 1 и убывает при 0 < a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:

f (x ) = a x (a > 0)

Наконец, степени с отрицательным показателем. Можно записывать их как дробь. Имеют точку разрыва, в которой монотонность нарушается.

Все эти функции никогда не встречаются в чистом виде. В них добавляют многочлены, дроби и прочий бред, из-за которого становится тяжело считать производную. Что при этом происходит - сейчас разберем.

Координаты вершины параболы

Чаще всего аргумент функции заменяется на квадратный трехчлен вида y = ax 2 + bx + c . Его график - стандартная парабола, в которой нас интересуют:

1. Ветви параболы - могут уходить вверх (при a > 0) или вниз (a < 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
2. Вершина параболы - точка экстремума квадратичной функции, в которой эта функция принимает свое наименьшее (для a > 0) или наибольшее (a < 0) значение.

Наибольший интерес представляет именно вершина параболы , абсцисса которой рассчитывается по формуле:

Итак, мы нашли точку экстремума квадратичной функции. Но если исходная функция монотонна, для нее точка x 0 тоже будет точкой экстремума. Таким образом, сформулируем ключевое правило:

Точки экстремума квадратного трехчлена и сложной функции, в которую он входит, совпадают. Поэтому можно искать x 0 для квадратного трехчлена, а на функцию - забить.

Из приведенных рассуждений остается непонятным, какую именно точку мы получаем: максимума или минимума. Однако задачи специально составляются так, что это не имеет значения. Судите сами:

1. Отрезок в условии задачи отсутствует. Следовательно, вычислять f (a ) и f (b ) не требуется. Остается рассмотреть лишь точки экстремума;
2. Но таких точек всего одна - это вершина параболы x 0 , координаты которой вычисляются буквально устно и без всяких производных.

Таким образом, решение задачи резко упрощается и сводится всего к двум шагам:

1. Выписать уравнение параболы y = ax 2 + bx + c и найти ее вершину по формуле: x 0 = −b /2a ;
2. Найти значение исходной функции в этой точке: f (x 0). Если никаких дополнительных условий нет, это и будет ответом.

На первый взгляд, этот алгоритм и его обоснование могут показаться сложными. Я намеренно не выкладываю «голую» схему решения, поскольку бездумное применение таких правил чревато ошибками.

Рассмотрим настоящие задачи из пробного ЕГЭ по математике - именно там данный прием встречается чаще всего. Заодно убедимся, что таким образом многие задачи B15 становятся почти устными.

Под корнем стоит квадратичная функция y = x 2 + 6x + 13. График этой функции − парабола ветвями вверх, поскольку коэффициент a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · 1) = −6/2 = −3

Поскольку ветви параболы направлены вверх, в точке x 0 = −3 функция y = x 2 + 6x + 13 принимает наименьшее значение.

Корень монотонно возрастает, значит x 0 - точка минимума всей функции. Имеем:

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 2 (x 2 + 2x + 9)

Под логарифмом снова квадратичная функция: y = x 2 + 2x + 9. График - парабола ветвями вверх, т.к. a = 1 > 0.

Вершина параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 · 1) = −2/2 = −1

Итак, в точке x 0 = −1 квадратичная функция принимает наименьшее значение. Но функция y = log 2 x - монотонная, поэтому:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

В показателе стоит квадратичная функция y = 1 − 4x − x 2 . Перепишем ее в нормальном виде: y = −x 2 − 4x + 1.

Очевидно, что график этой функции - парабола, ветви вниз (a = −1 < 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

Исходная функция - показательная, она монотонна, поэтому наибольшее значение будет в найденной точке x 0 = −2:

Внимательный читатель наверняка заметит, что мы не выписывали область допустимых значений корня и логарифма. Но этого и не требовалось: внутри стоят функции, значения которых всегда положительны.

Следствия из области определения функции

Иногда для решения задачи B15 недостаточно просто найти вершину параболы. Искомое значение может лежать на конце отрезка , а вовсе не в точке экстремума. Если в задаче вообще не указан отрезок, смотрим на область допустимых значений исходной функции. А именно:

Обратите внимание еще раз: ноль вполне может быть под корнем, но в логарифме или знаменателе дроби - никогда. Посмотрим, как это работает на конкретных примерах:

Задача. Найдите наибольшее значение функции:

Под корнем снова квадратичная функция: y = 3 − 2x − x 2 . Ее график - парабола, но ветви вниз, поскольку a = −1 < 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не существует.

Выписываем область допустимых значений (ОДЗ):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

Теперь найдем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

Точка x 0 = −1 принадлежит отрезку ОДЗ - и это хорошо. Теперь считаем значение функции в точке x 0 , а также на концах ОДЗ:

y (−3) = y (1) = 0

Итак, получили числа 2 и 0. Нас просят найти наибольшее - это число 2.

Задача. Найдите наименьшее значение функции:

y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)

Внутри логарифма стоит квадратичная функция y = 6x − x 2 − 5. Это парабола ветвями вниз, но в логарифме не может быть отрицательных чисел, поэтому выписываем ОДЗ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5 < 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

Обратите внимание: неравенство строгое, поэтому концы не принадлежат ОДЗ. Этим логарифм отличается от корня, где концы отрезка нас вполне устраивают.

Ищем вершину параболы:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

Вершина параболы подходит по ОДЗ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Но поскольку концы отрезка нас не интересуют, считаем значение функции только в точке x 0:

y min = y (3) = log 0,5 (6 · 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2

Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области $D$. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить три шага простого алгоритма.

Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции $z=f(x,y)$ в замкнутой области $D$.

1. Найти критические точки функции $z=f(x,y)$, принадлежащие области $D$. Вычислить значения функции в критических точках.
2. Исследовать поведение функции $z=f(x,y)$ на границе области $D$, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.
3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Что такое критические точки? показать\скрыть

Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. $\frac{\partial z}{\partial x}=0$ и $\frac{\partial z}{\partial y}=0$) или хотя бы одна частная производная не существует.

Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками . Таким образом, стационарные точки - есть подмножество критических точек.

Пример №1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в замкнутой области, ограниченной линиями $x=3$, $y=0$ и $y=x+1$.

Будем следовать указанному выше , но для начала разберёмся с чертежом заданной области, которую обозначим буквой $D$. Нам заданы уравнения трёх прямых, кои эту область ограничивают. Прямая $x=3$ проходит через точку $(3;0)$ параллельно оси ординат (оси Oy). Прямая $y=0$ - это уравнение оси абсцисс (оси Ox). Ну, а для построения прямой $y=x+1$ найдём две точки, через которые и проведём данную прямую. Можно, конечно, подставить вместо $x$ парочку произвольных значений. Например, подставляя $x=10$, получим: $y=x+1=10+1=11$. Мы нашли точку $(10;11)$, лежащую на прямой $y=x+1$. Однако лучше отыщем те точки, в которых прямая $y=x+1$ пересекается с линиями $x=3$ и $y=0$. Почему это лучше? Потому, что мы одним выстрелом уложим пару зайцев: получим две точки для построения прямой $y=x+1$ и заодно выясним, в каких точках эта прямая пересекает иные линии, ограничивающие заданную область. Прямая $y=x+1$ пересекает прямую $x=3$ в точке $(3;4)$, а прямую $y=0$ - в точке $(-1;0)$. Дабы не загромождать ход решения вспомогательными пояснениями, то вопрос о получении этих двух точек вынесу в примечание.

Как были получены точки $(3;4)$ и $(-1;0)$? показать\скрыть

Начнём с точки пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$. Координаты искомой точки принадлежат и первой, и второй прямой, поэтому для нахождения неизвестных координат нужно решить систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & x=3. \end{aligned} \right. $$

Решение такой системы тривиально: подставляя $x=3$ в первое уравнение будем иметь: $y=3+1=4$. Точка $(3;4)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $x=3$.

Теперь отыщем точку пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$. Вновь составим и решим систему уравнений:

$$ \left \{ \begin{aligned} & y=x+1;\\ & y=0. \end{aligned} \right. $$

Подставляя $y=0$ в первое уравнение, получим: $0=x+1$, $x=-1$. Точка $(-1;0)$ и есть искомая точка пересечения прямых $y=x+1$ и $y=0$ (оси абсцисс).

Всё готово для построения чертежа, который будет иметь такой вид:

Вопрос примечания кажется очевидным, ведь всё видно по рисунку. Однако стоит помнить, что рисунок не может служить доказательством. Рисунок - лишь иллюстрация для наглядности.

Наша область была задана с помощью уравнений прямых, которые её ограничивают. Очевидно, что эти прямые определяют треугольник, не так ли? Или не совсем очевидно? А может, нам задана иная область, ограниченная теми же прямыми:

Конечно, в условии сказано, что область замкнута, поэтому показанный рисунок неверен. Но чтобы избегать подобных двусмысленностей, области лучше задавать неравенствами. Нас интересует часть плоскости, расположенная под прямой $y=x+1$? Ок, значит, $y ≤ x+1$. Наша область должна располагаться над прямой $y=0$? Отлично, значит $y ≥ 0$. Кстати, два последних неравенства легко объединяются в одно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Эти неравенства и задают область $D$, причём задают её однозначно, не допуская никаких двусмысленностей. Но как это поможет нам в том вопросе, что указан в начале примечания? Ещё как поможет:) Нам нужно проверить, принадлежит ли точка $M_1(1;1)$ области $D$. Подставим $x=1$ и $y=1$ в систему неравенств, которые эту область определяют. Если оба неравенства будут выполнены, то точка лежит внутри области. Если хотя бы одно из неравенств будет не выполнено, то точка области не принадлежит. Итак:

$$ \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end{aligned} \right. $$

Оба неравенства справедливы. Точка $M_1(1;1)$ приналежит области $D$.

Теперь настал черёд исследовать поведение функции на границе области, т.е. переходим ко . Начнём с прямой $y=0$.

Прямая $y=0$ (ось абсцисс) ограничивает область $D$ при условии $-1 ≤ x ≤ 3$. Подставим $y=0$ в заданную функцию $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Полученную в результате подстановки функцию одной переменной $x$ обозначим как $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Теперь для функции $f_1(x)$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке $-1 ≤ x ≤ 3$. Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:

$$ f_{1}^{"}(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Значение $x=2$ принадлежит отрезку $-1 ≤ x ≤ 3$, поэтому к списку точек добавим ещё и $M_2(2;0)$. Кроме того, вычислим значения функции $z$ на концах отрезка $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точках $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Кстати, если бы точка $M_2$ не принадлежала рассматриваемому отрезку, то, разумеется, значение функции $z$ в ней вычислять не было бы надобности.

Итак, вычислим значения функции $z$ в точках $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можно, конечно, подставлять координаты данных точек в исходное выражение $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например, для точки $M_2$ получим:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Однако вычисления можно немного упростить. Для этого стоит вспомнить, что на отрезке $M_3M_4$ имеем $z(x,y)=f_1(x)$. Распишу это подробно:

\begin{aligned} & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(-1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3. \end{aligned}

Разумеется, что в столь подробных записях обычно нет нужды, и все вычисления в дальнейшем станем записывать покороче:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Теперь обратимся к прямой $x=3$. Эта прямая ограничивает область $D$ при условии $0 ≤ y ≤ 4$. Подставим $x=3$ в заданную функцию $z$. В результате такой подстановки мы получим функцию $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Для функции $f_2(y)$ нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке $0 ≤ y ≤ 4$. Отыщем производную этой функции и приравняем её к нулю:

$$ f_{2}^{"}(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Значение $y=3$ принадлежит отрезку $0 ≤ y ≤ 4$, поэтому к найденным ранее точкам добавим ещё и $M_5(3;3)$. Кроме того, нужно вычислить значение функции $z$ в точках на концах отрезка $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точках $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точке $M_4(3;0)$ мы уже вычисляли значение $z$. Вычислим значение функции $z$ в точках $M_5$ и $M_6$. Напомню, что на отрезке $M_4M_6$ имеем $z(x,y)=f_2(y)$, поэтому:

\begin{aligned} & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end{aligned}

И, наконец, рассмотрим последнюю границу области $D$, т.е. прямую $y=x+1$. Эта прямая ограничивает область $D$ при условии $-1 ≤ x ≤ 3$. Подставляя $y=x+1$ в функцию $z$, будем иметь:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Вновь мы получили функцию одной переменной $x$. И вновь нужно найти наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке $-1 ≤ x ≤ 3$. Отыщем производную функции $f_{3}(x)$ и приравняем её к нулю:

$$ f_{3}^{"}(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Значение $x=1$ принадлежит отрезку $-1 ≤ x ≤ 3$. Если $x=1$, то $y=x+1=2$. Добавим к списку точек ещё и $M_7(1;2)$ и выясним, чему равно значение функции $z$ в этой точке. Точки на концах отрезка $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$, были рассмотрены ранее, значение функции в них мы уже находили.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Второй шаг решения закончен. Мы получили семь значений:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Обратимся к . Выбирая наибольшее и наименьшее значения из тех чисел, что были получены в третьем пункте, будем иметь:

$$z_{min}=-4; \; z_{max}=6.$$

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Ответ : $z_{min}=-4; \; z_{max}=6$.

Пример №2

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z=x^2+y^2-12x+16y$ в области $x^2+y^2 ≤ 25$.

Сначала построим чертёж. Уравнение $x^2+y^2=25$ (это граничная линия заданной области) определяет окружность с центром в начале координат (т.е. в точке $(0;0)$) и радиусом 5. Неравенству $x^2+y^2 ≤ 25$ удовлетворяют все точки внутри и на упомянутой окружности.

Будем действовать по . Найдем частные производные и выясним критические точки.

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=2x-12; \frac{\partial z}{\partial y}=2y+16. $$

Точек, в которых найденные частные производные не существуют, нет. Выясним, в каких точках обе частные производные одновременно равны нулю, т.е. найдём стационарные точки.

$$ \left \{ \begin{aligned} & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & x=6;\\ & y=-8. \end{aligned} \right. $$

Мы получили стационарную точку $(6;-8)$. Однако найденная точка не принадлежит области $D$. Это легко показать, даже не прибегая к помощи рисунка. Проверим, выполняется ли неравенство $x^2+y^2 ≤ 25$, которое определяет нашу область $D$. Если $x=6$, $y=-8$, то $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенство $x^2+y^2 ≤ 25$ не выполнено. Вывод: точка $(6;-8)$ не принадлежит области $D$.

Итак, внутри области $D$ нет критических точек. Переходим дальше, ко . Нам нужно исследовать поведение функции на границе заданной области, т.е. на окружности $x^2+y^2=25$. Можно, конечно, выразить $y$ через $x$, а потом подставить полученное выражение в нашу функцию $z$. Из уравнения окружности получим: $y=\sqrt{25-x^2}$ или $y=-\sqrt{25-x^2}$. Подставляя, например, $y=\sqrt{25-x^2}$ в заданную функцию, будем иметь:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt{25-x^2}=25-12x+16\sqrt{25-x^2}; \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Дальнейшее решение будет полностью идентично исследованию поведения функции на границе области в предыдущем примере №1. Однако мне кажется более разумным в этой ситуации применить метод Лагранжа . Нас будет интересовать лишь первая часть этого метода. После применения первой части метода Лагранжа мы получим точки, в которых и исследуем функцию $z$ на предмет минимального и максимального значений.

Составляем функцию Лагранжа:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2-25). $$

Находим частные производные функции Лагранжа и составляем соответствующую систему уравнений:

$$ F_{x}^{"}=2x-12+2\lambda x; \;\; F_{y}^{"}=2y+16+2\lambda y.\\ \left \{ \begin{aligned} & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \end{aligned} \right. \;\; \left \{ \begin{aligned} & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end{aligned} \right. $$

Для решения этой системы давайте сразу укажем, что $\lambda\neq -1$. Почему $\lambda\neq -1$? Попробуем подставить $\lambda=-1$ в первое уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Полученное противоречие $0=6$ говорит о том, что значение $\lambda=-1$ недопустимо. Вывод: $\lambda\neq -1$. Выразим $x$ и $y$ через $\lambda$:

\begin{aligned} & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac{6}{1+\lambda}. \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac{-8}{1+\lambda}. \end{aligned}

Полагаю, что тут становится очевидным, зачем мы специально оговаривали условие $\lambda\neq -1$. Это было сделано, чтобы без помех поместить выражение $1+\lambda$ в знаменатели. Т.е., чтобы быть уверенным, что знаменатель $1+\lambda\neq 0$.

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ в третье уравнение системы, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac{6}{1+\lambda} \right)^2+\left(\frac{-8}{1+\lambda} \right)^2=25;\\ \frac{36}{(1+\lambda)^2}+\frac{64}{(1+\lambda)^2}=25;\\ \frac{100}{(1+\lambda)^2}=25; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Из полученного равенства следует, что $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Отсюда имеем два значения параметра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Соответственно, получим и две пары значений $x$ и $y$:

\begin{aligned} & x_1=\frac{6}{1+\lambda_1}=\frac{6}{2}=3; \; y_1=\frac{-8}{1+\lambda_1}=\frac{-8}{2}=-4. \\ & x_2=\frac{6}{1+\lambda_2}=\frac{6}{-2}=-3; \; y_2=\frac{-8}{1+\lambda_2}=\frac{-8}{-2}=4. \end{aligned}

Итак, мы получили две точки возможного условного экстремума, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Найдём значения функции $z$ в точках $M_1$ и $M_2$:

\begin{aligned} & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end{aligned}

На следует выбрать наибольшее и наименьшее значения из тех, что мы получили на первом и втором шагах. Но в данном случае выбор невелик:) Имеем:

$$ z_{min}=-75; \; z_{max}=125. $$

Ответ : $z_{min}=-75; \; z_{max}=125$.

Последние материалы раздела: