Дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные диф

Уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида:
.
Интегрируем n раз.
;
;
и так далее. Так же можно использовать формулу:
.
См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием > > >

Уравнения, не содержащие зависимую переменную y в явном виде

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь - функция от .
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде > > >

Уравнения, не содержащие независимую переменную x в явном виде

.
Считаем, что является функцией от . Тогда
.
Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде > > >

Уравнения, однородные относительно y, y′, y′′, ...

Для решения этого уравнения, делаем подстановку
,
где - функция от . Тогда
.
Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу.
См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков > > >

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
(1) ,
где - функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид:
(2) ,
где - произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений.
Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка - это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка :
.
Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид:
,
где - общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:
(3) .
Здесь - действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2):
(2) .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение :
(4) .

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид:
.

Если имеется комплексный корень
,
то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений:
.

Линейные неоднородные уравнения со специальной неоднородной частью

Рассмотрим уравнение вида
,
где - многочлены степеней s1 и s2 ; - постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде:
,
где
;
;
s - наибольшее из s1 и s2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде:
.

После этого получаем общее решение:
.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли .
Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения
.
Затем делаем подстановку
,
где - функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n - 1 - го порядка.

2) Метод линейной подстановки .
Сделаем подстановку
,
где - один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа .
В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид:
(2) .
Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид:
,
где - неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Уравнение Эйлера

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой:
.
Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде
.
В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Системы линейных диф. уравнений.

Система диф.уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных ф-ий и их производных. Систему n -линейных уравнений 1-го порядка записывают в виде:

Коэф-ты системы являются const.

Эту систему удобно записывать в матричной форме: ,

где - вектор-столбец неизвестных ф-ий, зависящих от одного аргумента.

Вектор-столбец производных этих ф-ий.

Вектор-столбец свободных членов.

Матрица коэффициентов.

Теорема 1: Если все коэф-ты матрицы А непрерывны на некотором промежутке и , то в некоторой окрестности каждой т. выполнены условия ТСиЕ. Следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая.

Действительно, в таком случае правые части системы непрерывны по совокупности аргументов и их частные производные по (равные коэф-там матрицы А) ограничены, в силу непрерывности на замкнутом промежутке.

Методы решения СЛДУ

1. Систему диф.уравнений можно свести путем исключения неизвестных к одному уравнению.

Пример: Решить систему уравнений: (1)

Решение: исключаем z из данных уравнений. Из первого уравнения имеем . Подставляя во второе уравнение, получаем после упрощения: .

Данная система уравнений (1) приведена к одному уравнению второго порядка. После того, как из этого уравнения будет найдено y , следует найти z , пользуясь равенством .

2. При решении системы уравнений путем исключения неизвестных обычно получается уравнение более высокого порядка, поэтому во многих случаях удобнее решать систему путем отыскания интегрируемых комбинаций.

Продолжение 27б

Пример: Решить систему

Решение:

Решим данную систему методом Эйлера. Запишем определитель для нахождения характеристического

уравнения: , (поскольку система однородная, то для того, чтобы она имела не тривиальное решение, надо, чтобы этот определитель был равен нулю). Получаем харак-кое уравнение и находим его корни:

Общее решение имеет вид: ;

- собственный вектор.

Записываем решение для : ;

- собственный вектор.

Записываем решение для : ;

Получаем общее решение: .

Выполним проверку:

найдем : и подставляем в первое уравнение данной системы, т.е. .

Получаем:

- верное равенство.

Линейные диф. уравнения n-го порядка. Теорема об общем решении неоднородного линейного уравнения n-го порядка.

Линейным диф.уравнением n-го порядка наз-ся уравнение вида: (1)

Если в этом ур-ии коэф-т , то, поделив на него, мы приходим к уравнению: (2) .

Обычно рассматриваются уравнения типа (2). Предположим, что в ур-и (2) все коэф-ты , а также f(x) непрерывны на некотором промежутке (a,b). Тогда согласно ТСиЕ уравнение (2) имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям: , , …, при . Здесь - любая точка из промежутка (a,b), а все - любые заданные числа. Уравнение (2) удовлетворяет ТСиЕ, поэтому не имеет особых решений.

Опр.: особыми точками являются те, в которых =0.

Свойства линейного уравнения:

1. Линейное уравнение остается таковым при любой замене независимой переменной.
2. Линейное уравнение остается таковым при любой линейной замене искомой функции.

Опр.: если в уравнение (2) положить f(x)=0 , то получится уравнение вида: (3) , которое наз-ся однородным уравнением относительно неоднородного уравнения (2).

Введем в рассмотрение линейный диф-й оператор: (4). С помощью этого оператора можно переписать в краткой форме уравнения (2) и(3): L(y)=f(x), L(y)=0. Оператор (4) обладает следующими простыми свойствами:

Из этих двух свойств можно вывести следствие: .

Функция y=y(x) является решением неоднородного уравнения (2), если L(y(x))=f(x) , тогда f(x) наз-ся решением уравнения. Значит решением уравнения (3) наз-ся функция y(x) , если L(y(x))=0 на рассмотренных промежутках.

Рассм. неоднородное линейное уравнение: , L(y)=f(x).

Предположим, что мы нашли каким-либо способом частное решение , тогда .

Введем новую неизвестную функцию z по формуле: , где - частное решение.

Подставим её в уравнение: , раскрываем скобки и получаем: .

Полученное уравнение можно переписать в виде:

Поскольку - частное решение исходного уравнения, то , тогда .

Таким образом, мы получили однородное уравнение относительно z . Общим решением этого однородного уравнения является линейная комбинация: , где функции - составляют фундаментальную систему решений однородного уравнения. Подставляя z в формулу замены, мы получим: (*) для функции y – неизвестная функция исходного уравнения. Все решения исходного уравнения будут содержаться в (*).

Таким образом, общее решение неоднородного лин. уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного линейного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного уравнения.

(продолжение на той стороне)

30. Теорема существования и единственности решения диф. уравнения

Теорема: Если в уравнении правая часть непрерывна в прямоугольнике и ограничена, а также удовлетворяет условию Липшица: , N=const, то существует единственное решение , удовлетворяющее начальным условиям и определенное на отрезке , где .

Доказательство:

Рассмотрим полное метрическое пространство С, точками которого являются всевозможные непрерывные функции y(x), определенные на отрезке , графики которых лежат внутри прямоугольника, а расстояние определяется равенством: . Это пространство часто используется в мат.анализе и называется пространством равномерной сходимости , поскольку сходимость по метрике этого пространства является равномерной.

Заменим диф. уравнение с данными начальными условиями на равносильное ему интегральное уравнение: и рассмотрим оператор А(y) , равный правой части этого уравнения: . Этот оператор ставит в соответствие каждой непрерывной функции

Пользуясь неравенством Липшица, мы можем записать, что расстояние . Теперь выберем такое , для которого выполнялось бы следующее неравенство: .

Следует выбрать так, что , тогда . Таким образом мы показали, что .

Согласно принципу сжимающих отображений существует единственная точка или, что то же самое, единственная функция – решение диф.уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

n -го порядка

Теорема . Если y 0 - решение однородного уравнения L[y]=0 , y 1 - решение соответствующего неоднородного уравнения L[y] = f(x) , то сумма y 0 +y 1 является решением этого неоднородного уравнения.

Структура общего решения неоднородного уравнения определяется следующей теоремой.

Теорема . Если Y - частное решение уравнения L[y] = f(x) с непрерывными коэффициентами, - общее решение соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 , то общее решение данного неоднородного уравнения определяется формулой

Замечание . Чтобы записать общее решение линейного неоднородного уравнения, необходимо найти какое-нибудь частное решение этого уравнения и общее решение соответствующего однородного уравнения.

Линейные неоднородные уравнения n

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка с постоянными коэффициентами

где a 1 , a 2 , …, a n - действительные числа. Запишем соответствующее однородное уравнение

Общее решение неоднородного уравнения определяется формулой

Общее решение однородного уравнения y 0 находить умеем, частное решение Y может быть найдено методом неопределенных коэффициентов в следующих простейших случаях:

В общем случае применяется метод вариации произвольных постоянных.

Метод вариации произвольных постоянных

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка с переменными коэффициентами

Если нахождение частного решения этого уравнения оказывается затруднительным, но известно общее решение соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных постоянных .

Пусть соответствующее однородное уравнение

имеет общее решение

Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде

где y 1 =y 1 (x) , y 2 =y 2 (x) , …, y n =y n (x) - линейно-независимые решения однородного уравнения, входящие в его общее решение, а C 1 (x) , C 2 (x) , …, C n (x) - неизвестные функции. Чтобы найти эти функции, подчиним их некоторым условиям.

Найдем производную

Потребуем, чтобы сумма во второй скобке равнялась нулю, то есть

Найдем вторую производную

и потребуем, чтобы

Продолжая аналогичный процесс, получим

В этом случае нельзя требовать, чтобы сумма во второй скобке обратилась в нуль, так как функции C 1 (x) , C 2 (x) , …, C n (x) уже подчинены n-1 условиям, а нужно еще удовлетворить исходному неоднородному уравнению.